ゼータへの最初の一歩ベルヌーイ数　「べき乗和」と素数で割った「余り」の驚くべき関係

１、１／２、１／６、０、－１／３０、…と続く一見デタラメなベルヌーイ数。これらの分数で「通分の逆」をすると不思議で美しい姿が見えてきます。ヤコブ・ベルヌーイが注目した無限級数の和は後にオイラーが解決したバーゼル問題にも登場します。そしてそれらを読み解いていくことがゼータへの第一歩になります。

ベルヌーイという数学者について見聞きしたことがある人は多いでしょう。ヤコブ・ベルヌーイによって発見されたベルヌーイ数は美しいと言われ、高校入試や数学オリンピックにも出題されます。本書では、一見でたらめなベルヌーイ数を、無限級数の和に着目し読み解いていきます。
リーマン予想で有名なゼータ関数への最初の一歩としても、お勧めの1冊です。オイラーやリーマンの考えた数学も丁寧に解説するので、彼らが編み出した数学を知りたい方にも楽しんでいただけます。

目次

はじめに

1章　魅惑のベルヌーイ数
Column01　フィボナッチ数列と「見たままの数列」

2章　降臨！「ファウルハーバーの公式」
Column02　パスカルの三角形とフィボナッチ数列

3章　ベルヌーイ数を生み出す関数
Column03　「ビネの公式」と黄金数

4章　ベルヌーイと無限級数
Column04 1/2^1＋2/2^2＋3/2^3＋……＝2

5章　オイラーと「バーゼル問題」
Column05　フィボナッチ数列と「89分の1」

6章　複素数から「（続）バーゼル問題」
Column06 ガウスと対数関数

7章　オイラーの「月と太陽」
Column07　ガンマ関数と三角関数

8章　ガウスの時計算で見る「べき乗和」
Column08 「フィボナッチ数列もどき」の10項和

9章　ガウスの時計算で見る「逆数のべき乗和」
Column09　ガウスの時計算で見る「フィボナッチ数列」

索引
引用文献／参考文献

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