離散幾何解析入門

我々が日常的に見たり触ったりする物質は連続体であるように見えて実は原子、分子といった離散的な構造から成り立っている。離散幾何解析はこうした構造を対象とする新しい数学である。本書では、連続な幾何概念とつながることを意識しながら解説。著者の結晶格子の研究や物質科学につながる研究も紹介する。

我々が日常的に見たり触ったりする物質は連続体であるように見えて実は原子、分子といった離散的な構造から成り立っている。離散幾何解析はこうした構造を対象とする新しい数学である。本書では、連続な幾何概念とつながることを意識しながら解説。著者の結晶格子の研究や物質科学につながる研究も紹介する。

目次

まえがき

第Ｉ部　準　備
　1　概　要
　2　有限グラフと調和写像
　　2.1　グラフの基礎
　　　2.1.1　定　義
　　　2.1.2　位相空間としてのグラフ
　　2.2　重み付きグラフの調和写像
　　　2.2.1　重み付きグラフとラプラシアン
　　　2.2.2　エネルギー変分公式
　　　2.2.3　Eells-Sampson型定理
　3　確率論の基礎
　　3.1　速成確率論入門
　　　3.1.1　確率空間
　　　3.1.2　エルゴード性
　　3.2　有限グラフ上のランダム・ウォーク
　　　3.2.1　推移作用素
　　　3.2.2　ランダム・ウォークの確率空間
　　　3.2.3　ホモロジー的大数の法則

第ＩＩ部　結晶格子上の幾何解析
　4　結晶格子とその標準的実現
　　4.1　標準的実現とその特徴付け
　　4.2　標準的実現の例
　　4.3　標準的実現の対称性
　5　結晶格子のランダム・ウォーク
　　5.1　捩じれ推移作用素
　　5.2　極限定理：大数の法則と中心極限定理
　　　5.2.1　Z上のランダム・ウォークの極限定理
　　　5.2.2　大数の法則
　　　5.2.3　中心極限定理
　6　大偏差原理と結晶格子の収束
　　6.1　大偏差原理
　　　6.1.1　基本的なアイデア
　　　6.1.2　結晶格子の大偏差
　　　6.1.3　Dの境界におけるエントロピー関数I
　　　6.1.4　Dの計算例
　　6.2　結晶格子のGromov-Hausdorff収束
　　　6.2.1　Gromov-Hausdorff収束の基礎
　　　6.2.2　結晶格子の収束

第ＩＩＩ部　磁場の離散化
　7　磁場の下でのランダム・ウォーク
　　7.1　電磁気学と微分形式を使った表現
　　　7.1.1　ベクトル解析
　　　7.1.2　電場と磁場
　　　7.1.3　微分形式による表現
　　7.2　群コホモロジー
　　7.3　Rd上の磁場付きラプラシアンと磁束類
　　7.4　磁場付き推移作用素<　ほか

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