複雑領域上のディリクレ問題　ポテンシャル論の観点から

与えられた境界値に対し領域内の関数の全体構造や境界での挙動がどうなるのかは応用上重要な問題である。古くから盛んに研究され、調和関数については領域内部の性質や、十分に滑らかな領域での境界挙動はよくわかっている。ところが、滑らかでないなど複雑な境界の場合にはいまだ不明な点が数多く残されている。関数の挙動は領域の幾何学的性質と密接に関連しており、興味深い問題が数多くある。本書では、種々の複雑領域において、できるだけ平易な、それゆえ一般性の高い方法を用い、関数の境界挙動をポテンシャル論の観点から解き明かす。

種々の複雑な領域で、調和関数の境界挙動はどうなるか。できるだけ平易で一般性の高い方法で解き明かす。

目次

調和関数
優調和関数と劣調和関数
Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ問題
容量とその応用
Ｍａｒｔｉｎ境界
複雑領域の発展
一様領域と境界Ｈａｒｎａｃｋ原理
Ｊｏｈｎ領域と弱境界Ｈａｒｎａｃｋ原理
一様領域とＪｏｈｎ領域の特徴づけ
ＰＷＢ解のＨ¨ｏｌｄｅｒ連続性
Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ領域上の優調和関数の可積分性
付録Ａ　曲面積とＧａｕｓｓの定理
付録Ｂ　被覆定理
付録Ｃ　Ｒｉｅｓｚの定理
付録Ｄ　Ｓｔｏｎｅ－Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓの定理
付録Ｅ　フラクタルによる複雑領域の構成

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