線型代数と群　行列の分解から古典群へ

表現論から拡がる、数学の視界。代数・幾何・解析にわたり、現代数学にあまねく溶け込む表現論の姿を映し出す新シリーズ。

線型代数学を基礎として、一般の体上の古典群とその分解を解説。

古典群は、一般線型群をはじめとする、直交群、ユニタリ群などの対称性を記述する行列の群であり、現代数学の様々な分野や物理学において重要な役割を果たしている。

本書では、代数群やリー群の一般論を前提とせず、行列の具体的な計算と線型代数の基本概念のみに基づいて議論を展開し、古典群の構造に到達する道筋を示す。行列の成分が属する体は、実数体や複素数体に留まらず、有限体やp進体をはじめとする任意の体、さらに非可換な四元数体を含む形で統一的に展開する。行列の群の構造を実践的に学ぶための好適な一冊。

目次

1章　古典群
1.1 群
1.2 体
1.3 一般線型群
1.4 非退化双線型形式の自己同型群
1.5 直交群
1.6 シンプレクティック群
1.7 ユニタリ群
1.8 古典群とそのリー環

2章　LU分解とブリュア分解
2.1 LU分解
2.2 一般線型群のボレル部分群
2.3 置換行列のなす群
2.4 一般線型群のブリュア分解

3章　ジョルダン分解
3.1 線型変換の多項式
3.2 特性多項式と最小多項式
3.3 ジョルダン分解
3.4 古典群とそのリー環のジョルダン分解
3.5 リー環の随伴表現とジョルダン分解

4章　行列の指数関数
4.1 行列の指数関数
4.2 行列の指数関数，対数関数の収束
4.3 ジョルダン分解と行列の指数関数

5章　内積空間と古典群
5.1 M(n，ℂ)のM(2n，ℝ)への埋め込み
5.2 内積と直交群
5.3 エルミート内積とユニタリ群
5.4 不定値ユニタリ群と不定値直交群
5.5 一般線型群の岩澤分解
5.6 一般線型群の極分解とカルタン分解
5.7 GL(n，ℚp)の岩澤分解とカルタン分解


6章　四元数と古典群
6.1 四元数を成分とする行列
6.2 M(n，ℍ)のM(2n，ℂ)への埋め込み
6.3 ℍn上のエルミート内積とシンプレクティック群
6.4 不定値四元数ユニタリ群
6.5 四元数直交群
6.6 四元数一般線型群の岩澤分解
6.7 四元数一般線型群の極分解とカルタン分解

7章　古典群の極分解
7.1 複素古典群とその実形
7.2 コンパクト古典群の極大トーラス
7.3 対合的自己同型と古典群
7.4 古典群の極分解

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