表現論序説

表現論から拡がる、数学の視界。代数・幾何・解析にわたり、現代数学にあまねく溶け込む表現論の姿を映し出す新シリーズ。

表現論とは何か。代数・幾何・解析にわたり、現代数学にあまねく溶け込む表現論の全域を見渡す、シリーズ第1巻。

本書では、表現論の基礎トレーニングからはじめ、線型代数の到達点であるジョルダン標準形を表現論の立場から見直す。さらに、既知の表現から新しい表現を作る標準的な手法を解説する。物理や数論の研究では、微分方程式などを通じて表現が自然に現れるため、解析的手法に基づく理論もあわせて取り上げる。巻末にまとめた表現論史は、著者の研究歴に裏打ちされた貴重な記録であり、表現論を見渡すうえでも示唆に富む。

表現論的なものの見方の基礎を伝える、学部生から専門家に至るまで好適な一冊。

目次

1章　表現論とは何か―序にかえて―
1.1 巡回群の表現
1.2 表現論とは何か
1.3 本書の読み方

2章　表現論の基礎用語
2.1 体・環・群
2.2 準同型写像
2.3 群の集合への作用
2.4 群環（群代数）
2.5 環の加群への作用：環上の加群と環の表現
2.6 準同型定理
2.7 既約表現
2.8 指標と類関数
2.9 組成列と重複度および直既約分解の一意性

3章　テンソル積の線型代数
3.1 ベクトル空間のテンソル積
3.2 線型写像のテンソル積
3.3 テンソル積の縮約
　3.3.1 双対空間と行列
　3.3.2 写像の合成，行列の積

4章　リー群とリー環の表現
4.1 可微分多様体とリー群
4.2 リー環
4.3 普遍包絡環とリー環の表現

5章　表現論からジョルダン標準形を眺める
5.1 ジョルダン標準形
5.2 ジョルダン標準形とリー環の表現
5.3 可換環の表現とジョルダン標準形

6章　テンソル積の空間と表現
6.1 表現のテンソル積
　6.1.1 群の表現のテンソル積
　6.1.2 リー環の表現のテンソル積
6.2 双対表現・線型写像の空間上の表現
6.3 テンソル積と隨伴表現
6.4 双線型形式とテンソル積
6.5 表現のテンソル積の計算例
6.6 余代数，双代数，ホップ代数
6.7 テンソル積加群
6.8 両側加群のテンソル積

7章　環の誘導表現と制限
7.1 表現の制限と誘導
7.2 群の誘導表現
　7.2.1 有限群の誘導表現
　7.2.2 誘導表現と関数空間
　7.2.3 ベクトル束と誘導表現
7.3 リー環の表現の誘導と余誘導

ほか

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