ゼータ関数と整数の花

本書は、リーマンゼータ関数とその周辺の数学を扱った、初等整数論の入門書である。
　前半部では、完全数・フィボナッチ数列・ピタゴラス数などといった、さまざまな整数列・無限和・無限積にまつわるトピックが、満開の花畑のように登場する。後半では、環論や形式的ベキ級数の概念を導入して、オイラーの五角数定理や、さまざまな分割数、約数和関数の関係式などに迫っていく。最後に、ゼータ関数に関わる基本事項を概観する。付録では、本編では紹介しきれなかった整数論での興味深い結果や、ラマヌジャンの生涯と功績などといった、数学界や数学史における楽しい話題を取り上げた。
　「整数の魅力を伝えること」を念頭に、なるべく多くの整数概念が現れるように工夫を行なった。

目次

第1章　素数の花
1.1 倍数，約数，素数
1.2 算術の基本定理
1.3 最大公約数，最小公倍数
1.4 ユークリッドの互除
1.5 研究トピック：素数の妙
1.5.1 約数の個数
1.5.2 約数和関数
1.5.3 完全数とメルセンヌ数
1.5.4 オイラーのトーシェント関数
1.6 研究トピック：完全数＆豊富数＆不足数

第2章　整数列
2.1 階乗，二項係数
2.2 フィボナッチ数列と黄金比
2.3 フィボナッチ数と三角関数
2.4 ゼッケンドルフの定理
2.5 カタラン数
2.6 降下オイラー数
2.7 三角数，四角数，五角数
2.8 連分数
2.9 研究トピック：2次無理数と循環連分数

第3章　整数環
3.1 整数環
3.2 イデアル
3.3 単項イデアル性
3.4 研究トピック：有理関数の連分数展開
3.5 演算と二項関係
3.6 同値関係
3.7 剰余環と剰余類
3.8 Z/pZ
3.9 孫子の剰余定理
3.10 オイラーの定理＆フェルマーの小定理
3.11 ピタゴラス数
3.12 研究トピック：トーシェント数とσ数

第4 章　形式的ベキ級数
4.1 数え上げ，多項式，母関数
4.2 形式的ベキ級数
4.3 ベキ級数の逆元
4.4 一般二項定理
4.5 母関数の計算
4.6 三角関数と指数関数
4.7 q自然数
4.8 q整数
4.9 q階乗，q二項係数
4.10 q二項定理
4.11 qフィボナッチ数とq黄金比
4.12 研究トピック：何でもqにしたいの
4.13 分割数列
4.14 O分割，D分割
4.15 q二項係数をもう一度
4.16 オイラーの五角数定理
4.17 五角数定理の別証明
4.18 ランベルト級数
4.19 五角数漸化式
4.20 三角級数
4.21 研究トピック：ラマヌジャン型合同式

ほか

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