タイル張りの数学入門

タイリングとは、平面上に図形（タイル）を隙間や重なりなく敷き詰めていくことを考える数学であり、タイル張りや平面充填ともよばれている。このようなタイリングの理論は代数学、解析学、幾何学、組合せ論などと深く関わりがあり、多くの分野が重なった領域である。

　本書では、事前知識がない読者でも読み進められるよう、適宜背景知識を補いながら、タイリングについて体系的に解説する。さらに節末には練習問題も配置されており、学んだことについて自身の理解を確かめることができる。タイリングとは何かといった基礎から、タイリングの型、非周期タイリング、ユークリッド平面以外の空間でのタイリングといった発展的な話題まで紹介している。タイリングの入門書としてだけではなく、タイリングがもつ幾何学模様のビジュアル的な美しさも備えた一冊。

目次

イントロダクション

第0章　予備知識
　0.1　集合論の初歩
　0.2　可算性
　0.3　幾何学の初歩
　0.4　線形代数の初歩
　0.5　解析学，位相幾何学の初歩
　0.6　代数学の初歩

第1章　タイリング入門
　1.1　タイリングとは？
　1.2　平面の等長変換
　1.3　タイルの対称性
　1.4　タイリングの対称性
　1.5　タイリングの対称変換群の可能性
　1.6　タイリングはいくつあるのか？

第2章　タイリングの型
　2.1　一様タイリング
　2.2　正規な頂点を持つタイリング
　2.3　辺対辺ではないタイリング
　2.4　パッチによるタイリング
　2.5　ランダムタイリング
　2.6　拡張定理
　2.7　周期的タイリング
　2.8　タイル張りできる凸多角形
　2.9　バランスタイリング

第3章　強非周期的プロトタイル集合
　3.1　準結晶と強非周期的なプロト集合
　3.2　置換タイリング
　3.3　ロビンソンの強非周期プロト集合
　3.4　ペンローズの強非周期プロト集合
　3.5　強非周期的プロト集合によるタイリングと射影法
　3.6　テイラー－ソコラーの強非周期タイル

第4章　他の幾何と他の次元におけるタイリング
　4.1　球面のタイリング
　4.2　双曲平面のタイリング
　4.3　3次元ユークリッド空間のタイリング
　4.4　結び目タイリング
　4.5　タイリング，曲面，3次元多様体

付録
　A.1　タイリングされた形を作成する
　A.2　課題
　A.3　各節に関する注意
　A.4　リソース
　A.5　図のクレジット

参考文献

訳者あとがき

索引

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