キーポイント偏微分方程式「新装版」

一見複雑そうな偏微分方程式といえども変数分離法が適用できれば、単なる常微分方程式に帰着する。そこで完全に変数分離法をマスターしよう。その上でそれが使えない場合の切り抜け方を伝授する。さらに偏微分方程式がなぜ放物型、楕円型、双曲型に分類されるか、数値解法に役立つ差分法の勘所は何かなど、徹底的にかみくだいて解説する。

偏微分方程式といえども変数分離法が適用できれば、単なる常微分方程式に帰着する。そこで完全に変数分離法をマスターしよう。その上でそれが使えない場合の切り抜け方を伝授する。さらに偏微分方程式がなぜ放物型、楕円型、双曲型に分類されるか、数値解法に役立つ差分法の勘所は何かなど、徹底的にかみくだいて解説する。

目次

編集にあたって
　まえがき

ポイント１　偏微分方程式と常微分方程式
　常微分と偏微分
　合成関数の微分法
　用語の整理
　簡単な偏微分方程式を解く
　幾何学的な意味
　少し複雑な偏微分方程式を解く
　初期条件・境界条件を満足する解

ポイント２　ともかく解ける1階偏微分方程式
　ラグランジュの偏微分方程式
　全微分方程式
　一般の1階偏微分方程式の解法
　完全解，一般解，特異解

ポイント３　双極型，放物型，楕円型
　2階線形偏微分方程式の分類
　物理法則からの偏微分方程式の導出
　ラプラス方程式の解の性質
　解の一意性
　熱伝導方程式の解の性質
　波動方程式の解の性質

ポイント４　強力な解法――変数分離法
　有限長さの弦の振動
　変数分離法
　常微分方程式の解
　固有値と固有関数
　初期条件を満足する解
　解の重ね合わせ
　重ね合わせの一般化
　未定の係数の決定法

ポイント５　まるい境界での波動方程式
　円形膜の振動
　極座標における微分
　変数分離法による解
　直行関数展開
　弦の振動と太鼓の膜の振動

ポイント６　いろいろな座標系でのラプラス方程式の解
　ラプラス方程式
　平板の温度分布
　円板の温度分布
　ポアソンの積分公式
　ポアソンの積分公式の別の導き方
　球の内部の温度分布
　スツルム・リウビル問題

ポイント７　非同次も解ける固有関数展開法
　変数分離法が使える条件
　有限長さの針金の熱伝導
　半無限長さの針金の熱伝導
　積分内の関数の求め方
　非同次境界条件
　非同次の偏微分方程式
　固有関数展開法

ポイント８　フーリエ変換とグリーン関数
　フーリエ変換
　フーリエ変換の性質
　フーリエ変換を利用した解法
　グリーン関数
　グリーン関数による解法
　グリーン関数を求めてみよう
　境界条件を満足する解

ほか

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