キーポイント行列と変換群「新装版」

指数関数の変数が行列の場合、行列式はどう計算されるか。また微分演算はどうか。この行列の指数関数の知識が群論とよばれる分野の数学の理解におおいに役立つ。本書は、徹底して２行２列の簡単な行列を使い、直交行列、ユニタリ行列、エルミート行列などの行列と群の関係、さらにリー代数など群の「表現」について明快に解説する。

指数関数の変数が行列の場合、行列式はどう計算されるか。また微分演算はどうか。この行列の指数関数の知識が群論とよばれる分野の数学の理解におおいに役立つ。本書は、徹底して2行2列の簡単な行列を使い、直交行列、ユニタリ行列、エルミート行列などの行列と群の関係、さらにリー代数など群の「表現」について明快に解説する。

目次

編集にあたって
　まえがき

ポイント１　ベクトルを回転してみよう
　2次元位置ベクトル
　直行座標系の回転
　内積は変わらない
　行列を使ってみよう
　ベクトルそのものの回転
　一般の2次元ベクトルと正規直行基底

ポイント２　行列は回転を引き起こす
　2次元回転行列の性質
　直行行列とは
　「群」を学ぶ第1歩
　複素数も使ってみよう
　無限小の回転
　群の名前の付け方

ポイント３　役に立つ行列の基本操作
　トレース，転置，そして共役転置
　交換子積
　特徴的な行列のクラス
　直行行列と直行群
　ユニタリ行列とユニタリ群

ポイント４　ベクトル空間と変換群
　3次元ベクトル
　線形変換と内積の不変性
　2次元複素ベクトル
　内積を不変に保つ変換
　行列もベクトルになる
　行列の内積
　行列の内積を不変に保つ線形変換
　群と線形変換の関わり

ポイント５　行列の指数関数
　行列の指数関数
　行列の指数関数の積と逆行列
　指数関数の積を与える公式

ポイント６　行列の指数関数の微分と行列式
　行列を微分する
　行列の指数関数の微分
　行列の指数関数の行列式
　ジョルダン標準形の登場
　特徴的な行列とその指数関数

ポイント７　3次元の回転
　3次元直行座標系の回転
　オイラー角で回す
　3次元回転と行列の指数関数
　3次元回転の生成子

ポイント８　ユニタリ行列と3次元の回転
　2×2ユニタリ行列をつくる
　活躍するパウリ行列
　ユニタリ行列による3次元座標回転
　3次元ベクトルの回転とユニタリ変換
　SO(3)とSU(2)との関係

ほか

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