キーポイント多変数の微分積分「新装版」

１変数関数の積分が「面積」を意味するなら、２変数関数の積分は何を意味するだろうか。また、２変数関数のテイラー展開はどう表わされるだろうか。３変数ならばどうか。現代数学への入口であるとともに、何より入学後すぐに道具として必須となる多変数の微積分。変数を増やしながらイメージを膨らませ、使う立場から勘所・急所を押さえて解説する。

1変数関数の積分が「面積」を意味するなら、2変数関数の積分は何を意味するだろうか。また、2変数関数のテイラー展開はどう表わされるだろうか。3変数ならばどうか。多変数の導入は数学の概念をより豊かにし、多様体など現代数学への一歩となる。多変数関数ならではの勘所・急所を押さえて、数学の実力をぐんとアップさせよう。

目次

編集にあたって
　まえがき

ポイント１　多変数関数とはどんなものか
　関数，函数
　多変数関数の登場
　2変数関数の絵を描こう
　等高線と俯瞰図の例
　峠の関数
　3変数関数
　等関数面
　4変数関数
　n変数関数
　熱力学関数
　ベクトル値関数

ポイント２　多変数関数の微分は偏微分
　多変数の傾きとは？
　偏微分の定義
　偏微分の書き表し方
　偏導関数
　偏微分を計算しよう
　合成関数も偏微分しよう
　偏微分の現れる例
　高次の偏微分
　偏微分の順序について
　偏微分順序が交換できない例
　C1，C∞級は恐くない
　偏微分の合成則
　極座標での偏微分

ポイント３　全微分は関数の微小変化分
　関数の局所的性質
　関数の変化分
　多変数関数の変化分
　関数の変化分の一般式を求めよう
　全微分可能と偏微分可能
　全微分，登場
　2変数関数の方向微分係数
　偏導関数から作ったベクトル：gradient
　最大傾斜角
　接平面
　接平面であることのチェック
　接するとは数学的にどう表現されるか
　接平面の例
　法線ベクトル

ポイント４　多変数テイラー展開を駆使する
　テイラー展開とは
　関数の近似
　x0のまわりでのテイラー展開
　多変数関数のテイラー展開
　テイラー展開と全微分の関係
　多変数関数の極大・極小・鞍点
　テイラー展開を用いた関数の極値問題
　ヘッシアンによる関数の極大・極小の判別
　等高線を描いてみよう：主軸変換
　もっと多変数の場合の極値

ほか

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