ランダムウォーク読本　哀しきギャンブラーと愛しきランダムウォーカーに捧げる数学譚

ギャンブルを生業にできるものなのか？酔っぱらいは必ずもとの居酒屋に戻るというのは本当なのか？巷でささやかれている他愛もないことを真面目に考察して深掘りした確率論の初学書。ギャンブルに対する教訓と酔っぱらいの行動を丁寧に解説し、そこからランダムウォークの再帰性について切り込む。確率論を通じて、どのように考察が深められ数学が形作られるかを紐解いていく。付録で取り上げたスターリングの公式も一読の価値がある。

ギャンブルを生業にできるものなのか？　酔っぱらいは必ずもとの居酒屋に戻るというのは本当なのか？　
巷でささやかれている他愛もないことを真面目に考察して深掘りした確率論の初学書。

ギャンブルに対する教訓と酔っぱらいの行動を丁寧に解説し、そこからランダムウォークの再帰性について切り込む。確率論を通じて、どのように考察が深められ数学が形作られるかを紐解いていく。付録で取り上げたスターリングの公式も一読の価値がある。


〔ギャンブル篇〕
ギャンブルの簡単なモデルとして破産問題を取り上げ、破産する確率を考察することでギャンブルに対する教訓を与えている。1回の賭け金が異なる場合の破産確率の比較も行った。邦書ではあまり見かけることのない時刻を指定した場合の破産問題も丁寧に紹介し考察を加えている。また、儲かっている時間と損をしている時間の割合や、所持金がゲームを始める前の状態に戻る得も損もしていない状態となる回数を考察することで、ギャンブルのやめ時についての教訓を与えた。

〔酔っぱらい篇〕
酔っぱらいはもとの店に戻ってくるという都市伝説に関連してランダムウォークの再帰性をテーマに取り上げ、再帰的となる必要十分条件を解説。とくに、2次元における考察は他に例を見ない。また、他の邦書では扱われることのない「必ず自宅に帰ることができるか」をテーマに、ランダムウォークが与えられた点に到達する確率について体系的な理論を展開。

〔付録〕
ランダウ記号の詳しい解説やスターリングの公式を取り上げた。スターリングの公式については、よく知られているものの他にいくつかの別証明を紹介している。

目次

第1章　ギャンブルは割にあうのか？
1.1 単純なギャンブルをモデル化しよう
1.2 一攫千金を夢見てよいのだろうか？
1.3 セコく賭けるが得か？ 大胆に賭けるが得か？
1.4 破産する時刻を指定したら？

第2章　ギャンブラーの心理に迫る
2.1 まずはモデル化から
2.2 儲かっている時間はどれぐらい？
2.3 ドローの状態は何回やってくる？
2.4 哀しきギャンブラー

第3章　酔っぱらいはどこへ行く？
3.1 酔っぱらいはもとの場所に戻れるか？
3.2 一本道を行ったりきたり
3.3 大阪ミナミで酔っぱらう
3.4 酔っぱらった鳥はどこへ行く？
3.5 愛しきランダムウォーカー

第4章　酔っぱらっても多少なりとも意識はあるのでは？
4.1 まずは破産の問題から
4.2 ランダムウォーカーはもとの場所に戻れるか？
4.3 戻れるかどうかは結構デリケート

第5章　ランダムウォーカー再考
5.1 もとの場所に戻れるかを再び問う
5.2 平面の漂浪で未解決だったこと
5.3 空間の漂浪で未解決だったこと
5.4 そもそも自宅にたどりつくのだろうか？

付録A　ランダウ記号について

付録B　スターリングの公式の証明あれこれ
B.1 数列の性質をフル活用してみた
B.2 ランダムウォークを用いて係数の値を決定する
B.3 少し格調高い証明―ラプラスの方法―
B.4 技巧的な方法を使うけれども高次の項を求めてみた
B.5 おそらく最も簡単な証明

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