公式と例題で学ぶ大学数学の基礎

「公式」と「例題」を通して、微分積分と線形代数の基本的な考え方＋αが学べる入門書

本書は、数学的な厳密性は避けながら、必要な部分をシンプルに理解し、使えるようになることを目標に書かれている。前半の微分積分では、1変数関数の連続性、微分、平均値の定理、テイラー展開、極値問題という微分の一連の流れがシンプルに解説され、その流れを踏まえて2変数以上の関数への拡張を行う。その後、不定積分、定積分、重積分と進み、最後に独立した単元として三角関数の微積分が扱われる。後半の線形代数では、2次正方行列について、逆行列、行列式、行列の固有値と対角化が一通り解説され、その流れを踏まえてn次行列への拡張を行う。その後、行列式とその性質、固有値と固有ベクトルと進み、最後に抽象的なベクトル空間が扱われる。

各章末には130題を超える豊富な演習問題があり、統計学の既刊本と同様、著者のサポートページですべての解答例が公開されている。理解度を確かめる助けとなるだろう。理工系の学部1〜2年生、経済学部などで微積分（ミクロ経済や統計）・線形代数（計量経済）が必要な学部3年生〜院生、統計検定?を目指す方などの数学の基礎固めによい。

例えば、一から本格的に統計学を学びたい方は、本書の第1〜4章および第6〜9章で数学の基礎を、『公式と例題で学ぶ統計学入門』で統計学の基礎を十分に固めてから、『データ解析のための数理統計入門』そして『現代数理統計学の基礎』へとステップアップしていく学習ルートが考えられる。

本書は、「数理統計学の本が読めるための数学を身につけること」をゴールとしつつ、公式の証明や抽象的なベクトル空間にも踏み込んだ「幅広い学問に立ち向かうための基礎としての数学を身につけること」にも応える内容となっている。

※ 「統計検定」は、一般財団法人 統計質保証推進協会の登録商標です。

目次

第1章　1変数関数の微分
1.1　関数の単射・全射と逆関数
1.2　関数の極限値
1.3　関数の連続性
1.4　微分係数と導関数
1.5　合成関数と逆関数の微分
1.6　指数関数と対数関数の微分

第2章　1変数関数のテイラー展開と極値問題
2.1　平均値の定理とロピタルの定理
2.2　関数のテイラー展開
2.3　関数の極大値・極小値
2.4　マクローリン展開

第3章　2変数関数の微分
3.1　2変数関数の極限値
3.2　偏微分係数と偏導関数
3.3　全微分
3.4　合成関数の微分と偏微分
3.5　2変数関数のテイラー展開
3.6　2変数関数の極大値・極小値
3.7　陰関数の定理と条件付き極大値・極小値
3.8　多変数関数の微分

第4章　積分
4.1　不定積分
4.2　簡単な微分方程式
4.3　定積分と広義積分
4.4　重積分
4.5　重積分の変数変換
4.6　多変数関数の積分

第5章　三角関数の微積分
5.1　三角関数の性質
5.2　三角関数の微分
5.3　三角関数の積分
5.4　重積分と極座標変換
5.5　図形の面積・体積と曲線の長さ

第6章　2次元ベクトルと2×2行列
6.1　ベクトルと行列の和と積
6.2　逆行列と行列式
6.3　連立線形方程式の解と固有値
6.4　対称行列の対角化と2次形式

第7章　n次元ベクトルと一般の行列の演算
7.1　ベクトルと行列
7.2　行列の積，ベクトルと行列の積
7.3　逆行列，基本行列，掃き出し法
7.4　行列の標準形とランク

第8章　行列式
8.1　行列式の定義
8.2　行列式の性質
8.3　行列式の計算
8.4　行列式に基づいた逆行列とクラメールの公式

第9章　固有値と固有ベクトル
9.1　固有値と固有ベクトルの定義
9.2　行列の三角化と対角化
9.3　実対称行列の対角化
9.4　2次形式と行列の不等式

ほか

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