実解析入門「新装版」

実解析は、調和解析、積分論、確率論、複素関数論などの様々な分野に、重要なアイデア、あるいは基礎となる概念を提供する。本書では、測度論、ルベーグ積分論を中心に、実解析の基本を解説する。初学者が正確に順を追って理解できるように、また諸分野への応用を意識して、すべての定理に証明を付した。さらに実解析にからむ超関数、フーリエ解析の概念を明確にし、ウェーブレット解析の考え方を説明した。

測度論、ルベーグ積分論を中心に、実解析の基本をていねいに解説する。初学者が正確に順を追って理解できるように、またさまざまな分野への応用を意識して、すべての定理に証明を付した。さらに実解析にからむ超関数、フーリエ解析の概念を明確にし、ウェーブレット解析の考え方を明快に説明した。

目次

まえがき

１　Euclid空間とRiemann積分
　§1.1　実数
　　(a) 実数
　　(b) 実数の完備性
　　(c) 有理数の可算性
　§1.2　Euclid空間
　§1.3　距離空間と位相空間
　　(a) 距離空間
　　(b) 位相空間
　　(c) 開区間と閉区間
　§1.4　Euclid空間の開集合と閉集合の構造
　§1.5　被覆定理
　§1.6　連続関数
　§1.7　Riemann積分
　§1.8　Jordan測度
　演習問題

２　Euclid空間上のLebesgue測度
　§2.1　区間の測度
　§2.2　外測度
　§2.3　可測集合とLebesgue測度
　§2.4　測度の基本的性質
　§2.5　可測集合とBorel集合
　§2.6　内測度
　§2.7　非可測集合の存在
　演習問題

３　Euclid空間上のLebesgue積分
　§3.1　可測関数
　§3.2　単関数列と可測関数
　§3.3　Lebesgue積分の定義
　§3.4　積分の基本的な性質
　§3.5　関数列の収束
　　(a) ノルム収束と概収束
　　(b) 一様収束
　　(c) Egorovの定理とLusinの定理
　　(d) 測度収束と概収束
　§3.6　収束定理
　§3.7　Riemann積分とLebesgue積分
　§3.8　Lebesgue積分のRiemann-Stieltjes積分による表現
　　(a) 有界変分関数
　　(b) Riemann-Stieltjes積分
　　(c) Lebesgue積分のRiemann-Stieltjes積分による表現
　演習問題

４　微分定理
　§4.1　微分の定義
　§4.2　Hardy-Littlewoodの極大関数と微分定理
　　(a) Hardy-Littlewoodの極大定理
　　(b) Lebesgueの微分定理
　§4.3　Vitaliの被覆定理と微分定理
　演習問題

５　一般の集合上の　ほか

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