不完全性定理とはなにか　ゲーデルとチューリング天才はなにを証明したのか「完全版」

正しくても常に証明できるとはかぎらない。ゲーデルの不完全性定理は、公理と推論規則から数学全体を導こうと考えていた、当時の数学界に衝撃を与えました。チューリングは「決定問題」を考察するなかで、「チューリング機械」という仮想的な計算機から「計算可能性と停止問題」に行き着きます。二人は同じことを全く別の視点から証明したのです。天才たちの思考の軌跡を楽しく見ていきましょう。

正しくても常に証明できるとはかぎらない。

ゲーデルの不完全性定理は、公理と推論規則から数学全体を導こうと考えていた、当時の数学界に衝撃を与えました。
チューリングは「決定問題」を考察するなかで、チューリング機械という仮想の計算機から「計算可能性と停止問題」に行き着きます。
2人は同じことを全く別の視点から証明したのです。この天才たちの思考の軌跡を、集合論、ロジックとその過程を考えながら楽しく読み解いていきたいと思います。

「そうですね……ゲーデルは、数学者が紙と鉛筆で証明をおこなうプロセスを厳密に考察しました。その結果、算数の計算ができるような理論があったとして、その理論の内部では証明できないことがある 、という結論に達しました。で、チューリングは、証明のかわりに計算の本質を追究した結果、無限ループに陥って計算が終わるかどうかわからない、いいかえると、計算できないことがある、という結論に達しました。どうです？　似てませんか？」（「プロローグ」より）

完全版　特別対談収録！
加藤文元×竹内 薫
不完全性定理――数学と哲学の交差点から

目次

はじめに
プロローグ　「心優しきプログラマーさんの悩み」

第0章 こころの準備

公理から集合まで
いわゆる３ワカランについて
この本の構成と読み方

第1章 無限に挑んだドン・キホーテ、ゲオルク・カントール

　　微小説「永代就職」
まちがいだらけと揶揄されたカントール
無限ホテルの怪
　　コラム　無限ホテルのオチ
偶数も奇数も無限個あるけれど
順序数と濃度
　　コラム　集合で数を生む方法
対角線論法
連続体仮説とは
デデキントとの交流
カントールの最期

第2章　ラッセル卿の希望を打ち砕いたクルト・ゲーデル

　微小説「魔法使いの朝」
ラテン語の文法を完全にマスターした子供
論理学超入門（真偽表）
論理学超入門（真偽表の続き）
　　コラム　ヒルベルトの23の問題
論理学超入門（形式証明）
ペアノ算術とは
　　コラム　プリンキピア・マテマティカとは
真であることと証明できること
嘘つきのパラドックス
ゲーデル数
　　コラム　現代のゲーデル数？
不完全性定理の証明の「あらすじ」
自己言及の魔物が棲んでいる
ブラックボックスの中を覗いてみる
無限に増殖する魔物たち
超数学とはなにか
　　コラム　次のレベルに進みたいあなたへ
コラム　完全性と２つの不完全性
スマリヤンのパズルでゲーデルの定理を
ゲーデルの最期

第3章　チューリングの辞書に「停まる」という文字はない

　　微小説 「は、自分の引用が前に来るとウソになる」
チューリングの肖像
友人の死と心脳問題
ケンブリッジ大学
チューリング機械とはなにか
チューリング機械の動きを見てみる
原始帰納的な計算
　　コラム　ボナッチの息子と帰納的定義
一般帰納的
停止問題の証明のあらすじ
停止問題から不完全性へ
チューリングの死

第4章　Ω数、様相論理、エトセトラ

　微小説 「ループ」
グレゴリー・チャイティンとΩ数
　ほか

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