主成分分析と因子分析　特異値分解を出発点として

本書では、特異値分解を出発点として、第1章で、本書で必要となる行列代数の知見を記した後、第2章で主成分分析を論じる。因子分析を行列分解による方法と潜在変数に基づく方法に二分して、前者を第3章で、後者を第4章で解説する。そして、第5章で、行列分解による因子分析の解と主成分分析の解を数理的に比較する。因子分析・主成分分析の解の解釈は負荷行列の回転によって促されるが、第6章では、回転の諸方法の定式化とアルゴリズムを論じ、第7章では、多くの負荷量が0になる解を求めるスパース推定を解説し、それと回転との関係を論じる。
本書は、21世紀になってから提案された行列分解による因子分析の解の性質、因子分析の解と主成分分析の解の間に成り立つ不等式、ほとんどの回転法の反復計算に使える点で汎用性のある勾配射影法の詳細、について説明する唯一の和書となる。
主成分分析と因子分析は、ともに、次元縮約という目的で同じデータに適用できるポピュラーな多変量解析法であるが、本書のタイトルが示すように、両者をほぼ対等の割合で扱うことは、本書の特徴である。また、それ自身が単独の多変量解析法と見なせる回転法の数理を詳述し、単純構造の達成という目的を回転と共有するスパース推定を扱うことも本書の特徴である。

目次

第1章 特異値分解と行列の諸性質
1.1 記号と用語の定義
1.2 特異値分解の定義
　1.2.1 縮小版の特異値分解
　1.2.2 拡張版の特異値分解
　1.2.3 特異値分解の書き換え
1.3 特異値分解に基づく最適化
　1.3.1 部分直交行列
　1.3.2 テンベルジの定理
　1.3.3 トレース関数の最大化
　1.3.4 行列の低階数近似
1.4 ムーア・ペンローズ逆行列と特異値分解
　1.4.1 特異値分解によるムーア・ペンローズ逆行列の定義
　1.4.2 ムーア・ペンローズ逆行列の諸性質
　1.4.3 線形回帰問題の解
1.5 直交補行列と特異値分解
　1.5.1 特異値分解による直交補行列の定義
　1.5.2 中心化行列の中心化直交補行列
　1.5.3 列直交する直交補行列
1.6 固有値分解と特異値分解
　1.6.1 対称行列の固有方程式から固有値分解へ
　1.6.2 非負定値に限られる対称行列の固有値分解
　1.6.3 非負定値対称行列の固有値分解から特異値分解へ
　1.6.4 特異値分解から非負定値対称行列の固有値分解へ
　1.6.5 非負定値ではない対称行列の固有値分解と特異値分解

第2章　主成分分析
2.1 主成分分析の一般的定式化
　2.1.1 低階数近似による定式化
　2.1.2 主成分分析のモデル
　2.1.3 解の一般表現と重み行列
　2.1.4 残差と分散説明率
2.2 因子分析と対比できる定式化
　2.2.1 主成分得点を無相関の標準化得点とする制約
　2.2.2 回転前後の負荷行列の解釈
2.3 主成分得点の分散最大化としての定式化
　2.3.1 重み行列の列直交制約
　2.3.2 主成分得点行列への制約の追加
2.4 可視化としての主成分分析
　2.4.1 高次元の個体散布の可視化
　2.4.2 可視化の忠実さと可視化空間内での軸の回転
　2.4.3 個体と変数のバイプロット

第3章　因子分析：行列分解による定式化
3.1 因子分析の着想
3.2 行　ほか

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