解析力学　基礎の基礎から発展的なトピックまで

解析力学をはじめて学ぶ際にも、発展的な内容を学ぶ際にもおすすめの一冊

　解析力学の考え方を用いると、ニュートンの運動方程式だけでなく電磁気学におけるガウスの法則、アンペールの法則などをも統一的な視点から「導出」することか?て?きる。その際の指導原理となるのが「対称性」であり、その重要性について強調したことが本書の特色の1つである。
　たとえば、光の速さか?一定という実験事実と整合するようにカ?リレイ対称性をローレンツ対称性へと変更することて?、ニュートン力学を導くのと同じ要領で特殊相対性理論か?自然に導かれることをみる。また、連続対称性がネーター保存量を導き、逆にその保存量が対称性の生成子になるといった関係について学べるようになっている。特に、ハミルトニアンが時間発展の生成子、運動量が空間並進の生成子になることや、電磁場中の荷電粒子のハミルトニアンの具体的な形を理解しておくことは、量子力学を学ぶ際のよい足がかりとなるだろう。
　類書にはあまり見られない内容として、スピンの取り扱い、自発的対称性の破れについての議論、ラグランジアンの存在についてのヘルムホルツ条件の導出や、中心力下の運動についてのベルトラン定理の証明なども盛り込んだ。

目次

第0章　数学の復習
0.1　多変数関数の微分・合成関数の微分・変数変換
0.2　ベクトル解析
0.3　本書で用いた記号

第I部　ラグランジュ形式の解析力学

第1章　ニュートン力学の復習と変分法の導入
1.1　ニュートン力学の復習
1.2　関数の停留値問題の復習
1.3　汎関数の停留値問題
1.4　変分法の例題
1.5　簡単に分かる保存量
1.6　ポテンシャルの存在条件
1.7　ラグランジアンの存在条件
1.8　章末演習問題

第2章　ニュートン力学のラグランジアン
2.1　ニュートンの運動方程式を導くラグランジアン
2.2　座標と時間の関数
2.3　ラグランジアンの不定性
2.4　オイラー・ラグランジュ方程式の共変性
2.5　荷電粒子のラグランジアン
2.6　スピンのラグランジアン
2.7　ポテンシャル中の１次元運動
2.8　章末演習問題

第3章　拘束条件の取り扱い
3.1　拘束条件下での関数の停留値問題
3.2　拘束条件下での汎関数の停留値問題
3.3　汎関数の停留値問題のバリエーション
3.4　章末演習問題

第II部　対称性

第4章　ニュートン力学の対称性
4.1　群の定義
4.2　ラグランジアンの対称性
4.3　対称性に基づくラグランジアンの決定
4.4　ネーターの定理と保存量
4.5　時間の変更を伴う対称性
4.6　隠れた対称性
4.7　ハミルトンの主関数と保存則
4.8　章末演習問題

第5章　ローレンツ対称性と特殊相対性理論
5.1　ローレンツ変換の必要性
5.2　ローレンツ変換
5.3　ローレンツ変換の物理的意味
5.4　相対論的質点の力学
5.5　マクスウェル方程式のローレンツ対称性
5.6　相対論的荷電粒子のラグランジアン
5.7　章末演習問題

第III部　ハミルトン形式の解析力学

第6章　ハミルトン形式の解析力学
6.1　正準方程式
6.2　相空間
6.3　ポアソン括弧とその性質　ほか

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