特異点論における代数的手法

本書は、可換環論を用いて特異点論を解説すること、及び、代数幾何的な対象を通じて可換環論に饒かな研究対象をもたらすことを目的とした書籍である。

特異点論は、代数幾何学の局所理論であると同時に、可換環論の局所理論でもある。
代数幾何学で或る対象を記述することは、多くの場合にあまり容易ではないが、ひとたび代数的な表現で記述ができると、可換環論を用いることによって種々の性質を精確に表現できる。一方、可換環論はそれ単体で多くの例を与えることは難しいが、代数幾何的な手法を導入することで、立ち所に非常に多くの例をもたらすことが出来るようになる。

特異点論の研究には、多分野からのアプローチ方法があるが、本書では特に「可換環論と代数幾何を組み合わせた手法」を基軸とし、次元付き環論や圏論・層論などといった必要な知識も随時導入しながら詳しく解説する。

目次

第1章　特異点論のための代数幾何入門
1. アフィンスペクトラムとアフィンスキーム
1.1 アフィンスペクトラムSpce(R)
1.2 Hilbertの零点定理
1.3 アフィン座標系と写像
1.4 アフィンスキームSpce(R)
1.5 アフィンスキーム上の層~M
2. スキーム
2.1 スキームの定義
2.2 ファイバー積の存在
2.3 準連接層
2.4 閉部分スキーム
2.5 スキーム間の射
2.6 連接層
2.7 ファイバー積の性質と応用
2.8 分離射と分離スキーム
2.9 準連接層の順像と高次順像
3. 射影スペクトラムと射影スキーム
3.1 射影スペクトラムProj(R)
3.2 Proj(R)上の連接層
3.3 豊富な可逆層
3.4 射影スキームの積とSegre積

第2章　交点理論
1. Cartier因子
2. 曲面上の交点理論
2.1 局所自由加群の次数
2.2 曲面上の交点理論と因子加群の次数
3. Hilbert多項式
4. 一般次元の交点数

第3章　正規次数付き環と正規射影多様体
1. 正規多様体，正規環の因子群，因子類群
2. ブローアップ（爆発）
2.1 付録．イデアルの節減，重複度と整閉イデアル
3. Proj(R)のコホモロジーとRの局所コホモロジー
4. Serre双対定理と正準因子，随伴公式
5. 次数付きブローアップと正規次数付き環の構成
6. Gorenstein性と因子群，UFD
7. トーリック幾何概観
7.1 トーリック環（または正規半群環）
7.2 扇とトーリック多様体
7.3 トーリック多様体の射
7.4 2次元正規トーリック環の特異点解消

第4章　曲線の特異点
1. 1次元の特異点論の概観
2. 平面曲線の特異点と特異点解消
3. 既約平面曲線のPuiseux級数
4. 1次元特異点の値半群．半群環とその周辺
5. 曲線のRiemann-Rochの定理

第5章　2次元正規特異点
1. 特　ほか

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