共立講座数学の輝き　１５「離散群とエルゴード理論」

一般に「2つの群作用が軌道同型である」とは、作用する空間のあいだに同型で作用する軌道を保つようなものが存在するときをいう。1959年のDyeの論文が嚆矢となり、爾後、離散群論の発展と伴って様々な群作用に関する軌道同型の研究が進められ、現在では、関数解析・幾何学・確率論などといった広汎な数学の諸分野に於いて、多彩な成果をもたらすに至っている。
　エルゴード理論は、端的にいえば「測度空間への群作用を研究する分野」であり、軌道同型理論はエルゴード理論の一分野として位置付けられてきた。しかし近年、軌道同型の研究範囲の多彩さゆえにその枠組みだけで論じることが困難となり、2010年ごろに”Measured Group Theory”という新たな枠組みが創始され、現在に至っている。
　本書は、「”Measured Group Theory”のガイドブック」となることを想定し、特に離散群と軌道同型理論に関する基礎概念とその結果、および未解決問題などについて幅広く取り上げる。まず、標準確率空間・保測作用・保測同値関係などの基本的なアイデアから始め、従順群・自由群・樹化可能な保測同値関係・カズダン性などといったトピックを詳しく解説する。

目次

はじめに

第1章　保測作用
1.1 測度空間についての準備
1.2 保測作用の例
1.3 同型と軌道同型
1.4 同値関係と作用素環

第2章　保測同値関係の基礎
2.1 可算ボレル同値関係
2.2 保測同値関係

第3章　概有限同値関係
3.1 角谷・ロホリンの補題
3.2 概有限性
3.3 測度代数についての準備
3.4 同型定理

第4章　従順群
4.1 ミーンと従順性
4.2 ライター条件
4.3 フェルナー条件
4.4 ハウスドルフのパラドックス

第5章　従順同値関係
5.1 同値関係における左かけ算
5.2 ミーンと従順性
5.3 部分同値関係と制限の従順性
5.4 ライター条件とフェルナー条件
5.5 コンヌ・フェルドマン・ヴァイスの定理

第6章　自由群
6.1 樹
6.2 自由群の標準樹
6.3 ソース・シンク力学系
6.4 境界への作用がもつ従順性
6.5 従順性と固定点
6.6 自由群と軌道同型でない群

第7章　樹系付き同値関係
7.1 グラフ系と樹系
7.2 樹のエンド数と剪定
7.3 樹系の剪定とコスト
7.4 エンド数と従順性
7.5 樹系をもたない保測同値関係

第8章　樹化可能な部分同値関係の構成
8.1 群上のランダムウォーク
8.2 ケステン条件
8.3 自由極小全域樹林とクラスター同値関係
8.4 非従順群のスペクトル半径

第9章　カズダン性
9.1 定義と例
9.2 カズダン性の遺伝
9.3 位相群と格子部分群のカズダン性
9.4 スペクトル測度とユニタリ表現
9.5 SLn(R) (n≧3) のカズダン性

第10章　カズダン性の応用
10.1 樹への作用と固定点性質
10.2 軌道同型に関する応用

付録A 標準確率空間
A.1 ポーリッシュ空間と標準ボレル空間
A.2 標準ボレル空間の間の写像
A.3 同型定理
　ほか

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