大学数学の根幹

大学で数学の学習を始めると、初めに「数」や「集合」などといった、一見すると当たり前に思える概念があらためて広く扱われる。しかしこれらは、その先の大学数学でより高度な概念を学習していくための基盤ともなる大切な概念であり、理解が曖昧なままでは、その後いくら学習を積み重ねても「砂上の楼閣」の如くひどく頼りないものになってしまうだろう。
　本書では、上記の数・集合の概念の他に、数理論理・証明・関係（順序体や同値性）・無限とその濃度・置換と群論などといった、数学における基礎的ながらも軽視されがちな概念全般を徹底的に追究していく。こうして、地中に広く深く理解の「根」を張り巡らせることで、その後に難解な数学概念に出会っても動じない「幹」の太い喬木となり、理解の枝葉を大きく茂らせることができるのである。
　大学数学やその先の研究活動にも通用する、強固な「数学の根幹」をもたらすべく、詳しく解説する。

[原著: The Foundations of Mathematics，2nd Edition，Oxford University Press，2015]

目次

第2版への序
初版への序
目次

第I部 直観的背景
第1章 数学的思考
1.1 概念形成
1.2 スキーマ
1.3 例
1.4 自然数学と形式数学
1.5 人間の経験に基づいた形式的アイデアを構築すること
1.6 形式体系と構造定理
1.7 形式数学をより柔軟に使用する

第2章　数の体系
2.1 自然数
2.2 分数
2.3 整数
2.4 有理数
2.5 実数
2.6 実際の描画における不正確な算術
2.7 実数の理論的モデル
2.8 異なる数に対する異なる小数展開
2.9 有理数と無理数
2.10 実数の必要性
2.11 小数の算術
2.12 数列
2.13 順序の性質と絶対値
2.14 収束
2.15 完備性
2.16 減少列
2.17 同じ実数に対する異なる小数展開
2.18 有界集合

第II部　形式化の始まり
第3章　集合
3.1 要素
3.2 部分集合
3.3 宇宙はあるか？
3.4 和集合と共通部分
3.5 補集合
3.6 集合の集合

第4章　関係
4.1 順序対
4.2 数学的な精度と人間の洞察力
4.3 順序対を概念化する代わりの方法
4.4 関係
4.5 同値関係
4.6 例．nを法とする算術
4.7 同値関係の微妙な側面
4.8 順序関係

第5章　関数
5.1 いくつかの伝統的な関数
5.2 一般の関数概念
5.3 関数の一般的性質
5.4 関数のグラフ
5.5 関数の合成
5.6 逆関数
5.7 制限
5.8 数列とn組
5.9 多変数関数
5.10 2項演算
5.11 添字つきの集合族

第6章　数学的論理
6.1 言明
6.2 述語
6.3 「すべて」と「ある」
6.4 量化子が2つ以上
6.5 否定
6.6 論理文法：連言子
6.7 集合論との関係
6.8 複合言明に対する公式
6　ほか

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