和算からベルヌーイ数へと続く数の世界　ベル数・スターリング数でも和算家はスゴかった

有名な和算家関孝和が、ベルヌーイ数を発見していたことはご存じでしょうか。実は驚くべきことにベル数やスターリング数も和算家によって発見されていました。その日本発の研究は源氏香にその端を発します。和算と西洋数学の両面からアプローチしてベルヌーイ数に関する不思議なクラウゼン・フォンシュタウトの定理にも迫りましょう。

関孝和がベルヌーイ数を発見していたことは特に有名ですが、和算家が大きく貢献した有名な数が他にもあります。関孝和の孫弟子にあたる松永良弼（よしすけ）によるベル数や、坂正永（まさのぶ）によるスターリング数などです。和算家たちはこれらの数を「場合の数」と捉えます。一方、スターリングなど西洋の数学者たちは「代数」と捉えていました。スターリング数は、ベルヌーイ数に関する重要なクラウゼン-フォンシュタウトの定理に欠かせない重要な数でもあります。和算と西洋数学によるそれらの数の捉え方の違いを通して、それらがどのようにしてベルヌーイ数へとつながっていくのか、わかりやすく解説します。題材として「源氏香図」を使います。これは単なるデザインではなく、数学的な意味をもつもので、源氏香52通りはベル数とも呼ばれています。
楽しみながら数学を学ぶことができる1冊です。

目次

はじめに

1章　源氏香のミステリー
　日本発の研究とは…
　「源氏香図」52個に『源氏物語』54帖が…
　「源氏香」から和算家達が発見した式とは…
　「二項係数」を並べて「パスカルの三角形」を作ろう
　「源氏香図」52個を描き上げよう
　源氏香図のミステリー（1）
　コラム1 10種香は何通りか（1）

2章　 和算家のスターリング数
　和算家達のさらなる発見とは…
　漸化式から「第2種スターリング数の三角形」を作ろう
　「n＝4の香図」を描き上げよう
　源氏香図のミステリー（2）
　漸化式から「第1種スターリング数の三角形」を作ろう
　「置換」を「プレゼント交換」で見てみよう
　「置換」を「サイクルの個数」で見てみよう
　nを増やして「置換」のサイクルを見ていこう
　コラム2 10種香は何通りか（2）

3章　スターリングのスターリング数
　「二項係数」の関係式を代数の側面から見てみよう
　二項係数の「一般項」を場合の数から求めよう
　「べき乗」を「下降階乗」で表そう
　「べき乗」を「上昇階乗」で表そう
　第2種スターリング数の三角形で「列」に着目しよう
　何を展開すると第2種スターリング数が現れるか
　第2種スターリング数の「一般項」はどうなるか
　場合の数の「包除原理」から一般項を求めよう
　「n!」を「二項係数」で表そう
　第1種スターリング数の三角形で「列」に着目しよう
　「第1種スターリング数の多項式」を因数分解しよう
　「上昇階乗」を「べき乗」で表そう
　「下降階乗」を「べき乗」で表そう
　「べき乗」→「下降（上昇）階乗」→「べき乗」
　コラム3 攪乱順列とモンモール数

4章　ベル数と無限級数
　無限和を、ベルヌーイ数を用いて表そう
　無限和を、ベル数を用いて表そう（1）
　ベル数の「母関数」を求めよう
　無限和を、ベ　ほか

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