曲がった世界の三角形の定理たち　非ユークリッド幾何学入門

ユークリッド幾何学というのは、数学を学ぶときにふだん使っている平面・空間（幾何学）です。それに対して非ユークリッド幾何学があります。これまでに学んできた図形に関する事柄を曲がった世界、非ユークリッド幾何学の観点で見てみるとどうなるか、図と式でわかりやすく解説します。たとえば、高校で学ぶ正弦定理や余弦定理を非ユークリッド幾何学で考えると、驚くべきことにユークリッドで見たときと似たような式が出てくるのです。それは一体何を表しているのでしょうか。双曲幾何学、球面幾何学についても丁寧に解説します。

目次

はじめに
第0章　平行線の公理と幾何学
0.1 ユークリッド幾何学について
0.2 第5公準と平行線の公理
　COLUMN Q.E.D.（証明終わり）
0.3 双曲幾何学について
0.4 球面幾何学について
　COLUMN 楕円幾何学

第1章　曲がった世界と直線
1.1 ユークリッド幾何学
　COLUMN　直積集合（direct product）
1.2 球面幾何学
　COLUMN 球面三角形の面積
1.3 双曲幾何学
　COLUMN 双曲幾何学と虚数を半径とする円
　COLUMN ミンコフスキー内積と双曲面モデル

第2章　道のりと距離
2.1　道のりと距離
2.2　ユークリッド平面上の2点間の距離
2.3 球面上の2点間の距離
2.4 双曲面上の2点間の距離

第3章　角度と内積
3.1 2直線のなす角
3.2 極座標表示
3.3 2点間の距離と内積

第4章　平行移動
4.1 ユークリッド平面上の平行移動
4.2 球面上の平行移動
4.3 双曲面上の平行移動

第5章　正弦定理
5.1 ユークリッド三角形の正弦定理
5.2 球面三角形の正弦定理
5.3 双曲三角形の正弦定理
5.4 正弦定理の統一的な表示
　COLUMN　正弦定理と外接円の半径

第6章　余弦定理
6.1 第1余弦定理
6.2 第2余弦定理
6.3 三平方の定理（ピタゴラスの定理）
6.4 まとめ

付録A　三角関数とは
付録B　球面三角形の面積
付録C　正弦関数と余弦関数の一般化
付録D　その他の定理たち
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