暗号と誤り訂正　代数学的基礎とその応用

暗号や誤り訂正符号を理解するには，代数学と数論が必要である．一方，代数学や数論の意義を解するには，情報の完全性を担保する技術への応用の理解が役立つ．

本書では，必要となる初等整数論の結果や抽象代数学の基本概念とともに，それらがいかに応用されなぜ機能するのかを紐解くための考え方と結果について，暗号や誤り訂正符号に関する一般的な入門書よりも詳細に解説している．これにより，対面授業はもちろん，オンライン授業や自主学習にも適した教材となっている．

対象とする読者は，大学1-2年生レベルの微分積分学と線形代数の講義を履修済みまたは履修中の学生である．本書を読み終えたときには，現在広く使われている暗号や誤り訂正符号のいくつかについて，数学的に深く理解し，さらなる研究のために十分な準備ができていることだろう．

目次

まえがき

第1章 安全で信頼できる情報
1.1 はじめに／1.2 最小非負剰余と時計算／1.3 暗号／1.4 誤りの検出と訂正／演習問題

第2章 モジュラ計算
2.1 mを法とする算術／2.2 モジュラ計算と暗号／2.3 mを法とする合同／2.4 文字から数へ／演習問題

第3章 mを法とする1次方程式
3.1 最大公約数／3.2 最大公約数を求める／3.3 ベズーの等式／3.4 べズーの等式の求解／3.5 ユークリッドの補題／3.6 1次ディオファントス方程式の解／3.7 1次合同式の操作と解法／演習問題

第4章 Zにおける素因数分解の一意性
4.1 素因数分解の一意性／4.2 帰納法／4.3 算術の基本定理／4.4 除法の原理／4.5 整列原理／演習問題

第5章 環と体
5.1 群，可換環，体，単元／5.2 群と環の基本的な性質／5.3 単元と体／5.4 イデアル／5.5 コセットとmを法とする整数／5.6 Z_mは可換環／5.7 Z/mZの完全代表系／5.8 Z/mZが体となる場合／演習問題

第6章 多項式
6.1 基本概念／6.2 除法の原理／6.3 ダランベールの定理／演習問題

第7章 行列とハミング符号
7.1 行列とベクトル／7.2 誤り訂正・検出符号／7.3 (7，4)-ハミング符号：単一誤り訂正符号／7.4 (8，4)-ハミング符号／7.5 これらの符号はなぜ機能するのか？／演習問題

第8章 位数とオイラーの定理
8.1 元の位数／8.2 フェルマーの小定理／8.3 オイラーの定理／8.4 二項定理とフェルマーの小定理／8.5 法mでの高次の冪の求め方／演習問題

第9章 RSA暗号と素数
9.1 RSA暗号／9.2 RSAはなぜ有効なのか？／9.3 署名／9.4 対称鍵暗号と非対称鍵暗号／9.5 大きな素数の存在／9.6 大きな素数の見つけ方／9.7 a-擬素数テスト／9.8 強a-擬素数テスト／演習問題

第10章 群，コセット，ラグランジュの定理
10.1 群／10.2 部分群／10.3 有限な巡回部分群の部分群／10.4 コセット／　ほか

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