偏微分方程式の計算数理

偏微分方程式の数値計算法とその数理的な性質を解説

本書は、偏微分方程式の数値解析の入門的な内容を解説し、初学者を専門家への入り口に導くことを目標としている。過度な一般化や抽象化には進まず、具体的な数理モデルに対して実際に応用されている数値解法を適用し、その数学的性質を深く研究する。離散最大値原理、安定化手法や風上化手法など今まで和書では詳しく論じられていなかった事柄も詳説する。本書を通じて応用関数解析の入門にもなるよう配慮した。

なお、付録Aには本書で用いる関数解析の基礎事項をまとめ、付録B， Cでは非線形方程式に対する差分法と有限要素法のMATLABプログラミングについて説明する。また、各章のおわりには章末問題として問題と研究課題を付記し、付録のあとに問題の略解をまとめて掲載した。

熱方程式、波動方程式、Cahn-Hilliard方程式、Schrodinger方程式、Poisson方程式、Stokes方程式、移流拡散方程式など多くの方程式を論じ、過去の和書とは一線を画している。

（本文2色刷）

目次

はじめに

記号表

第1章　熱方程式と差分法
1.1　熱方程式
1.2　差分商
1.3　陽的スキーム
1.4　陰的スキーム
1.5　収束性と誤差評価
1.6　l∞誤差解析の再検討
1.7　Neumann境界条件
1.8　安定性とvon Neumann条件
ノート
　(a) 差分法についての補足
　(b) De Fort-FrankelスキームとLaxの同値性定理
章末問題

第2章　差分法の応用
2.1　半線形反応拡散方程式
2.2　移流拡散方程式とKeller-Segel方程式
2.3　波動方程式
2.4　Cahn-Hilliard方程式
2.5　非線形Schr?dinger方程式―スキームと保存則
2.6　非線形Schr?dinger方程式―適切性と誤差評価
ノート
　(a) 爆発
　(b) 対称性
章末問題

第3章　Poisson方程式と有限要素法
3.1　変分問題とGalerkin-Ritz法
3.2　有限要素法の導入
3.3　関数解析の準備
3.4　弱解と正則性
3.5　補間誤差評価
3.6　有限要素法の誤差評価
3.7　離散最大値原理
ノート
　(a) 有限要素法についての覚書
　(b) 正則でない解の有限要素近似
　(c) 有限体積法
章末問題

第4章　有限要素
4.1　重心座標，d単体とd長方形
4.2　Lagrange有限要素
4.3　Sobolev空間Wm，p
4.4　補間誤差
4.5　三角形分割，四角形分割と有限要素空間
4.6　一般の有限要素
4.7　準補間作用素
4.8　L2射影作用素と逆不等式
ノート
　(a) 部分領域分割に関わる用語法
　(b) 補間誤差評価と要素形状，および補間誤差定数
　(c) いろいろな準補間作用素
　(d) Wm，p-Wl，q型の逆不等式
章末問題

第5章　楕円型方程式
5.1　Lax-Milgramの定理
5.2　楕円型偏微分方程　ほか

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