相対論とリーマン幾何学

一般相対論は重力の理論であり、また時間と空間を結びつける理論でもあるが、数学の立場からは物理現象をリーマン多様体の理論に基づく考察によって定式化する理論ともいえる。本書は筆者の講義をもとにして、数学の立場から書かれた、一般相対論の骨子であるアインシュタイン方程式が内包する幾何学への入門書である。まず、多様体上における微積分の準備をテンソルを介して行い、次に特殊相対性理論を扱う。その後、アインシュタイン方程式の導出をし、非真空アインシュタイン方程式、コーシー初期値問題としての定式化、シュバルツシルト時空、ハミルトン形式との関係などを解説する。最後には、いわゆるブラックホールのホーキング・ペンローズ理論を解説する。

目次

第1章　多様体上の微積分
1.1　多様体の定義
1.2　多様体の例
1.3　多様体上の関数と写像
1.4　多様体上の接ベクトルとベクトル場
　　1.4.1　接ベクトル
　　1.4.2　ベクトル場
1.5　多様体間の写像の微分
1.6　微分方程式系としてのベクトル場
1.7　部分多様体
1.8　多様体上のテンソル
　　1.8.1　テンソルおよびテンソル場の定義
　　1.8.2　テンソル積と外積
　　1.8.3　(p，q)テンソルの変換則
　　1.8.4　関数環上の加群としてのテンソル場
1.9　Rnのベクトル場の微分
　　1.9.1　リーマン計量とローレンツ計量
　　1.9.2　リーマン多様体上でのテンソル場
　　1.9.3　ユークリッド空間の部分多様体の共変微分
　　1.9.4　リーマン幾何学の基本定理
1.10　レビ・チビタ接続と平行移動
　　1.10.1　平行移動の定義
　　1.10.2　測地線の定義
　　1.10.3　レビ・チビタ接続と等価原理
　　1.10.4　標構について
　　1.10.5　一般テンソルの共変微分
1.11　微分形式と外微分
　　1.11.1　内部積
　　1.11.2　レビ・チビタの擬テンソルとホッジの＊作用素
1.12　微分同相写像とリー微分
1.13　いくつかの微分作用素と発散定理
　　1.13.1　発散作用素
　　1.13.2　発散定理
　　1.13.3　へシアン
　　1.13.4　ラプラス作用素
1.14　多様体上の微積分学の参考文献

第2章　特殊相対論とマクスウェル方程式
2.1　ミンコフスキー空間
　　2.1.1　距離空間としてのミンコフスキー空間
　　2.1.2　ミンコフスキー空間の対称性
2.2　特殊相対論におけるエネルギー・運動量ベクトル
2.3　マクスウェル方程式
　　2.3.1　微分形式による定式化
　　2.3.2　コーシー問題としてのマクスウェル方程式

第3章　アインシュタイン方程式の導出
3.1　リーマン曲率テンソル
　　ほか

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