バナッハ－タルスキーのパラドックス

Ｂａｎａｃｈ‐Ｔａｒｓｋｉの逆理とは、「球体を有限個に分解し、剛体運動で動かして組み立てることにより、２倍の大きさにできる」という驚くべき数学的帰結である。本書では、この逆理と、群論・幾何学・数学基礎論との関係に触れる。原著の初版は１９８５年に発行された。新版では、逆理に関する多数の新しい結果と証明、さらには未解決の問題を掲載している。その中には、Ｅｓｃｈｅｒの有名な木版画『天使と悪魔』の形に関係している、双曲平面における逆理もある。新しい章（９章）は、６０年以上にわたって未解決であった問題「円の正方形化」の完全な証明に充てられている。

Banach-Tarskiの逆理（パラドックス）とは、「球体を有限個に分解し、剛体運動で動かして組み立てることにより、2倍の大きさにできる」という驚くべき数学的帰結である。物理的な常識からずれていることから逆理と呼ばれるが、選択公理から論理的に導かれる、れっきとした定理である。
　この逆理に関わる理論は、解析学（測度論と線型汎関数）、代数学（組合せ群論）、幾何学（等長変換群）、トポロジー（局所コンパクト位相群）、数学基礎論と多岐にわたる。本書は、この逆理とその周辺結果を詳細に解説した専門書である。
　原著の初版は1985年に発行された。新版では、逆理に関する多数の新しい結果と証明、未解決の問題を掲載している。その中には、Escherの有名な木版画『天使と悪魔』に関係する、双曲平面における逆理もある。新しい章（第9章）は、60年以上にわたって未解決であった問題「円の正方形化」の完全な証明に充てられている。

　　[原著: The Banach-Tarski Paradox，2nd Edition，Cambridge University Press，2016]

目次

PARTI　paradoxical分解の存在，すなわち有限加法的測度が存在しないこと
第1章　導入
　1.1 paradoxicalな作用の例
　1.2 幾何学的逆理
第2章　Hausdorffの逆理
第3章　Banach-Tarskiの逆理：球面と球体の複製
第4章　双曲空間の逆理
　4.1 双曲平面
　4.2 双曲的なHausdorffの逆理
　4.3 双曲平面全体の上でのBanach-Tarskiの逆理
　4.4 Escherの図案の逆理
　4.5 双曲正方形の消去
　4.6 双曲空間の有界集合の逆理
第5章　局所可換な作用：paradoxical分解の片数の最小化
　5.1 球面の最小片数分解
　5.2 球体の最小片数分解
　5.3 合同一般系
第6章　高次元
　6.1 Euclid空間
　6.2 非Euclid空間
　6.3 四面体の鎖
第7章　大きい階数の自由群：連続体濃度の個数の球面を1つの球面から
　7.1 等長変換からなる大きな自由群
　7.2 等長変換からなる大きな自由部分半群
　7.3 真部分集合と合同な集合
第8章　低次元の逆理
　8.1 平面上の逆理
　8.2 数直線上の逆理
第9章　円を正方形に
　9.1 群の取り換え
　9.2 円の正方形化
　9.3 一般化と未解決問題
第10章　分解合同の型半群
　10.1 分解合同の型半群
　10.2 簡約律
　10.3 断片の制限

PARTII　有限加法的測度の存在，すなわちparadoxical分解が存在しないこと
第11章　節目
　11.1 Tarskiの定理
　11.2 Marczewskiの問題：Baire集合を用いる逆理
　11.3 可算個の断片による分解合同性
第12章　群の測度
　12.1 従順な群
　12.2 群のクラス
　12.3 不変測度
　12.4 従順性の特徴付け
　12.5 位相的従順性
第13章　従順性の応用
　13.1 エキゾチック測度
　13.2 イデアルを法とす　ほか

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