虚数　数の概念を変えた“想像上の数”

「２乗するとマイナスになる」想像上の奇妙な数なのに科学・数学では不可欠な存在。

虚数とは，2乗するとマイナスになる数です。高校の数学で虚数を教わったものの，何に必要なのかわからない，という人も多いのではないでしょうか。しかし，虚数は今や数学や科学にとってなくてはならない存在です。数学の世界を飛躍的に発展させただけでなく，電気回路や航空機の設計など，私たちの生活におどろくほど役立っているのです。この本では，虚数発見の歴史やエピソードをはじめ，数の世界の終着駅「複素数」の詳細や，身のまわりや物理学で活躍する虚数，世界一美しい数式と虚数の不思議など，虚数の基本と応用をやさしく解説します。

目次

プロローグ
虚数っていったい何?

1.虚数が生まれる前の「数の歴史」
そもそも「数」って存在するのだろうか
「ゼロ」は最初，数ではなかった
なかなかイメージできない「負の数」
矢印を使うと負の数が見てわかる
「答えのない問題」が分数を生みだした
整数と整数の間にある数をあらわせる「分数」と「小数」
「2乗して2になる数」は，分数ではあらわせない
4000年前の粘土板にきざまれた√2
すべての“普通の数”が出そろった!
コーヒーブレーク　ピタゴラスにとっての有理数
コーヒーブレーク　√2を分数であらわす方法─連分数

2.虚数はこうして誕生した
「2乗してマイナスになる数」とは，どんなものか
万能人カルダノが虚数をはじめて本にしるした
カルダノの問題を木片で考える
カルダノの問題の答えを出すには？
「虚数」を認めなかった数学者たち
「i」であらわされる不思議な数
コーヒーブレーク　虚数を生んだカルダノって，どんな人？
虚数を生んだ，中世の「数学勝負」
タルタリアとの約束を破った？
「2次方程式」には実数で答えが出せないものがある
「解の公式」でカルダノの問題を解く
虚数単位iを使ってできる計算
虚数まで考えれば方程式は必ず解をもつ

3.新たに生まれた数「複素数」
目に見えない虚数を図にえがくには
ガウスらが発見した「複素平面」とは
複素数は数の拡張の終着駅
複素数の足し算と引き算
マイナス×マイナスがプラスになる理由
iを4回かけると，1周して1にもどる
コーヒーブレーク　青年ガウスをとりこにした魔法の数式
複素数のかけ算は「回転・拡大」
虚数の大きさは比較できるのか
宝は島のどこに埋まっている？
解答編：宝は島のどこに埋まっている？
「極座標表示」で位置をあらわそう
「極形式」はこんなに便利
コーヒーブレーク　「マイナス×マイナス＝マイナス」の世界

4.虚数がなくては物理学もなりたたない
体脂肪の計測でも虚数が使われている
虚数の理論で設計された不思議な飛行機

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