測度の考え方　測り測られることの数学

人間にとって古代からなじみ深い長さや面積、体積の性質を抽象化していくことで築き上げられた測度論。本書では、初学者にとって取っつき難いところを、集合の計算とロジックを元にして丁寧に解説。応用であるルベーグ積分の理論まで掲載。測ることの面白さを存分に堪能できる１冊。

「私たちは日常から長さや面積や体積を測っています．しかし，そもそも「測る」とはどういうことなのでしょうか．
この「測る」ことを数学的に抽象化したものが測度です．本書では簡単な集合の解説から始めて，
測れるもの，測ることができないものの性質を調べ，測度論とはいったい何をしているのかを易しく読み解いていきます．

目次

まえがき
［第1部　測度論以前のこと］
第1章　長さ，面積，体積の昔
　1.1　測るということ
　1.2　どんな形でも測れるのか？
　1.3　円の面積はなぜπr^2 か
　1.4　アルキメデスのとりつくし法
　1.5　錐体の体積はなぜ柱体の1/3 か

第2章　測り，測られることの数学的基礎1－集合
　2.1　始まりはいつも集合
　　2.1.1　集合とはなにか？ －素朴な定義
　　2.1.2　有限集合と無限集合
　　2.1.3　無限集合の2つの種類
　2.2　「図形」を集合と見るには
　　2.2.1　和集合と共通部分，「または」と「かつ」
　　2.2.2　差集合と否定
　　2.2.3　集合の分割と同値関係

第3章　測り，測られることの数学的基礎2－実数と写像
　3.1　測る「量」としての実数
　　3.1.1　実数の区間と無限大
　　3.1.2　実数の実感
　　3.1.3　実数の連続性について
　　3.1.4　上極限と下極限
　3.2　写像
　　3.2.1　写像の基本
　　3.2.2　簡単な写像の知識-- 全射，単射，全単射，逆写像など
　　3.2.3　ちょっと高度な写像の知識-- 像と逆像，制限と拡張など
　　3.2.4　関数と連続性

［第2部　具体から抽象へ－カラテオドリの条件のパズルとルベーグ測度］
第4章　基本図形で覆って測る：外測度の考え方
　4.1　外測度の考え方
　　4.1.1　1次元にも複雑な図形がある
　　4.1.2　複雑な図形をどう測るべきか
　　4.1.3　「長さゼロ」とは？
　　4.1.4　区間[0，1] の外測度は1か？
　4.2　外測度の性質
　　4.2.1　他の種類の区間の外測度と単調性
　　4.2.2　平行移動不変性と加法性
　　4.2.3　劣加法性

第5章　ルベーグ測度
　5.1　カラテオ　ほか

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