有限の中の無限　素数がつくる有限体のふしぎ

１＋１＝０や１＋２＝０が成立する、ふしぎな数の世界＝有限体。０、１、２の３つしか数字がなくても、数論、代数や幾何が成立する！？ガロアが見出し、進化させた新たな素数の世界とは？素数のふしぎを解き明かしながら、有限個の数の世界で無限に展開する数学の魅力に読者を誘う。

「有限体」をご存じでしょうか？

決闘による壮絶な最期を迎えたことで知られる数学者、エヴァリスト・ガロアが最初に発表したことから、「ガロア体」ともよばれる有限体は、四則演算が定められた有限集合です。

私たちが慣れ親しんでいるふつうの数の世界では、1 を繰り返し足していくと、2、3、4、…と、新しい数がどんどん生まれていきます。しかし、有限体がつくり出すのは、たとえば1 + 1 = 0 が成り立つ世界です。

そこは、0 と1 だけの2 個の数の世界で、素数2 によってつくりだされます。このような数の世界は、個々の素数ごとに広がっていて、たとえば素数3 は、1 + 2 = 0 の世界をつくります。

数の個数が有限個に限られた有限体の世界でも、数論、代数や幾何など、深みのある数学が展開します。

ガロアが見出し、進化させた「新たな素数の世界」とは、どのようなものなのでしょうか？

本書では、有限個の数の世界＝有限体の中に無限に数学が広がっていることを紹介します。


【もくじ】

〈第１部　1+1=0の世界──素数のふしぎなはたらき〉

第１章　ふしぎな国のふしぎな計算

第２章　四則演算からの風景

第３章　0と1の幾何学

第４章　美しい平方数の世界

第５章　方程式からの眺望

第６章　平方数を超えて

第７章　「有限個の数の世界」と「ふつうの数の世界」


〈第２部　ガロアが創った新しい世界──数の進化を考える〉

第８章　ガロアの虚数

第９章　p乗の魔法

第10章　有限体上の楕円曲線


【著者紹介】

西来路文朗（さいらいじ・ふみお）
1969年、広島県生まれ。大阪大学大学院理学研究科博士課程数学専攻単位取得退学。博士（理学）。専門は整数論。賢明女子学院中学校・高等学校の教諭を経て、現在、広島国際大学看護学部看護学科教授、広島大学客員教授。著書に『Liberal Arts 基礎数学』（京都廣川書店、青木宏光氏との共著）がある。

清水健一（しみず・けんいち）
1948年、兵庫県生まれ。岡山大学理学部数学科卒業。博士（理学）。専門は整数論。賢明女子学院中学校・高等学校の教諭を経て、現在、岡山大学客員教授、岡山理科大学非常勤講師。著書に『大学入試問題で語る数論の世界』『美しすぎる「数」の世界』（ともに講談社ブルーバックス）がある。

二人の共著による『素数が奏でる物語』『素数はめぐる』（いずれも講談社ブルーバックス）も好評。

目次

第１部　１＋１＝０の世界―素数のふしぎなはたらき（ふしぎな国のふしぎな計算
四則演算からの風景
０と１の幾何学
美しい平方数の世界
方程式からの眺望
平方数を超えて
「有限個の数の世界」と「ふつうの数の世界」）
第２部　ガロアが創った新しい世界―数の進化を考える（ガロアの虚数
ｐ乗の魔法
有限体上の楕円曲線）

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