数・学・探・検・共立講座　１３「複素関数入門」

学部１年の微分積分学を予備知識として，正則関数，コーシー・リーマンの関係式，ベキ級数，収束半径，コーシーの積分定理，コーシーの積分公式，ローラン展開，孤立特異点，留数，偏角の原理，等角写像，一次分数変換などの複素関数入門に必須の内容を解説。図による直観的な理解と，多数の問題（解答付）による習熟を目指す。さらに，リーマンの写像定理とビーベルバッハ予想，リーマン予想を取り上げ，これらの技法が大きな結果の中にどう使われているかを学ぶ。

目次

第１章　複素関数とその微分
１．１　複素数
１．２　極形式
１．３　複素関数
１．４　関数の極限・連続・微分
１．５　偏微分と全微分
１．６　コーシー・リーマンの関係式と正則関数
１．７　具体的な正則関数
１．８　調和関数
１．９　連続性と定数関係条件

第２章　ベキ級数
２．１　複素数列
２．２　複素級数
２．３　絶対収束級数の和の順序変更
２．４　ベキ級数と収束円板
２．５　ベキ級数の正則性
２．６　自然境界

第３章　コーシーの積分定理
３．１　区分求積法とリーマン積分
３．２　曲線
３．３　曲線の長さと線積分
３．４　具体的な線積分
３．５　線積分と一様収束
３．６　コーシーの積分定理
３．７　正則関数の対数と累乗

第４章　正則関数
４．１　コーシーの積分公式
４．２　最大値原理
４．３　正則関数のテイラー展開
４．４　具体的な関数のテイラー展開
４．５　モレラの定理
４．６　リュービルの定理と代数学の基本定理
４．７　正則関数の零点
４．８　一致の定理
４．９　モンテルの定理

第５章　有理型関数
５．１　ローラン展開と特異点
５．２　具体的な関数のローラン展開と留数
５．３　無限遠点
５．４　無限遠点におけるローラン展開と留数
５．５　留数計算
５．６　偏角の原理

第６章　等角写像
６．１　正則関数の等角性
６．２　一次分数変換
６．３　ジュウコフスキー変換
６．４　逆関数定理・開写像定理
６．５　リーマンの写像定理
６．６　ビーベルバッハ予想（ド・ブランジュの定理）

第７章　解析接続とゼータ関数
７．１　解析接続と一価性の定理
７．２　ガンマ関数
７．３　ゼータ関数

第８章　上極限と実数の連続性公理
８．１　上極限・下極限
８．２　上限・下限
８．３　実数の連続性公理
８．４　有理数の稠密性と可算性

問題の略解

参考文献

索　引

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