量子論のための表現論

量子力学において，表現論的構造を意識することで，より深くその問題が理解できるだけでなく，一般化が容易に可能となることは多い。そこで本書では，基本的に数学としてはよく知られている表現論の知識を，表現論的考え方が量子論の理解のための基本的なインフラとして機能するように，量子論の立場から，量子論のテーマに応用しやすいよう再構成して提供する。線形代数や微積分，確率統計の一定の知識はあるものの群論の知識を一切有しない読者を対象とし，記号も量子論のものを用いている。
　また，量子論への応用のために必要となる表現論の複数のテーマを扱うことで，量子論における表現論の全体像が見えやすくなっている。同時に，これらの複数のテーマの間の類似性を強調しているので，テーマ間のアナロジーが効きやすいように構成されている。これにより，やや進んだ表現論のテーマも比較的容易にそのポイントを掴むことができるだろう。
　本書は，初めに，量子論の基礎概念を説明する。次に，一般の群についての表現論を扱う。その後，量子論で重要となるＬｉｅ群およびＬｉｅ環の表現論を解説する。最後に，Ｂｏｓｅ量子系を与えるＨｅｉｓｅｎｂｅｒｇ表現について扱う。

目次

第１章　量子系の数学的基礎
１．１　系，状態および測定
１．２　合成系
１．３　多体系

第２章　群の表現論
２．１　群と等質空間
２．２　群の拡大
２．３　群の表現と射影表現
２．４　射影的表現と群の拡大
２．５　半直積と表現
２．６　実表現と複素共役表現
２．７　合成系上の表現
２．８　有限群でのＦｏｕｒｉｅｒ変換
２．９　置換群の表現とＹｏｕｎｇ　ｄｉａｇｒａｍ

第３章　Ｌｉｅ群とＬｉｅ環の表現論の基礎
３．１　Ｌｉｅ群
３．２　Ｌｉｅ環
３．３　Ｌｉｅ群とＬｉｅ環の関係Ｉ
３．４　Ｌｉｅ環の表現
３．５　Ｋｉｌｌｉｎｇ　ｆｏｒｍとコンパクト性
３．６　Ｌｉｅ群とＬｉｅ環の関係ＩＩ
３．７　群と等質空間上の不変測度
３．８　Ｌｉｅ群でのＦｏｕｒｉｅｒ変換

第４章　簡単なＬｉｅ群とＬｉｅ環の表現
４．１　ＳＬ（２，Ｃ）とその部分群
４．２　ｓｕ（２）とｓｕ（１，　１）の既約歪エルミート表現
４．３　ＳＵ（ｒ）とＵ（ｒ）の既約ユニタリ表現
４．４　複数の量子系からなる合成系
４．５　Ｌｉｅ群と等質空間の離散化

第５章　一般のＬｉｅ群とＬｉｅ環の表現
５．１　ルート系とその分類
５．２　コンパクトＬｉｅ環の構造
５．３　複素半単純Ｌｉｅ環の構造
５．４　コンパクト半単純Ｌｉｅ　環の歪エルミート表現
５．５　部分代数と部分ルート系
５．６　ｓｐ（ｒ）の構造
５．７　複素構造とコヒーレント状態
５．８　非コンパクト半単純Ｌｉｅ環の構造
５．９　非コンパクト単純Ｌｉｅ環の歪エルミート表現
５．１０　一般の非コンパクトＬｉｅ環とその歪エルミート表現

第６章　Ｂｏｓｅ粒子系
６．１　１モードのＢｏｓｅ粒子系
６．２　多モードのＢｏｓｅ粒子系
６．３　ユニタリ群Ｕ（ｒ）による変換
６．４　第二量子化とＢｏｓｅ粒子
６．５　１モードのスクイズド状態
６．６　２モードのスクイズド状態
６．７　Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ表現のＦｏｕｒｉｅｒ変換
６．８　多モードのスクイジング

第７章　Ｂｏｓｅ粒子系の離散化
７．１　離散Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ表現
７．２　離散シンプレクティク群とＣｌｉｆｆｏｒｄ群
７．３　Ｍｅｔａｐｌｅｃｔｉｃ表現
７．４　ＭＵＢとＳＩＣ　ＰＯＶＭ

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